[MS1] ch.1-1 통계용어

서울대학교 통계학과 대학원 2021년도 1학년 1학기 통계이론1 수업의 정리내용입니다.

reference: Lecture note (Prof.Jaeyong Lee),
Mathematical Statistics : Basic Ideas and Selected Topics, Volume I, Second Edition By Peter J. Bickel, Kjell A. Doksum

1. 통계용어

1.1 용어들

확률공간, 자료, 모형, 모수

• $(\Omega,\mathcal{F},P)$:확률공간(Probability Space)
  • $\Omega$ : 표본공간(sample space), 주어진 집합
  • $\mathcal{F}$ : $\omega$ 에서 정의된 시그마 필드 $(\sigma - field)$
  • $\mathcal{P}$ : 확률, $\mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}$로 가는 함수
    
    
• 자료, 데이터, 관측지
  • $X=(X_1, X_2,\cdots,X_n ): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n, (n$은 양의 정수$)$
  • $X$: 확률변수, 측도가능한 함수
    
    
• 모형(model)
  • $\mathscr{P} =\lbrace X$의 분포들의 집합$\rbrace$
  • $X$의 분포: $P\circ X^{-1} = P_X$
    • note that $P_X(B) = P\circ X^{-1}(B) = P(X^{-1}(B))$ which is X의 분포
      
      
• 모수, 모수함수
  • 모수함수(parametrization)는 모수공간 $\Theta$ 에서 모형 $\mathscr{P}$로 가는 함수
  • $\mathscr{P} =\lbrace$ 가능한 $P_X$ 들의 모임 $\rbrace$ $\ \ \ \ \ \ = \lbrace P_{\theta} : \theta \in \Theta \rbrace $
    

모수적, 비모수적, 준모수적

• 모수공간 $\Theta$가 유클리드공간 $( \mathbb{R}^n )$의 부분집합일 때, ㅊ를 모수적(parametric) 이라 한다.
• $\Theta$가 무한차원 공간일 때, $\mathscr{P}$를 비모수적(nonparametric) 이라 한다.
• $\Theta$가 유클리드 공간의 부분집합과 무한차원 공간을 포함하고 있을 때, $\mathscr{P}$를 준모수적(semiparametic) 이라 한다.
  

  식별가능성(identifiability)

• 모수함수, $\theta \mapsto P_\theta$가 일대일 대응이면, 모수함수와 모수를 식별가능(identifiable) 하다고 한다.
  • that is, $\theta_1 \ne \theta_2 \rightarrow P_{\theta_1} \ne P_{\theta_2} \ \ , \forall \theta_1 \ne \theta_2 \in \Theta$
• 식별 가능하지 않은 모수나 모수함수를 식별불가능(unidentifiable) 이라 한다.
• 식별가능성은 추정하려는 모수가 가져야 할 최소한의 성절이다.
  

관심모수와 장애모수

• 관심모수(parameter of interests) : 모수들 중 1차적 관심의 대상
• 장애모수(nuisance parameter) : 모수들 중 2차적 관심의 대상

통계량(statistic)

• 통계량 T는 표본공간에서 정의된 함수

1.2 모형의 예

회귀모형(regression model)

• 1.(자료)
• 2.(목적)